четверг, 20 августа 2015
Здравствуйте уважаемое сообщество.
1 курс каунасского технологического университета. домашнее задание по дискретной математике
нужно доказать, что
если `A \subseteq \delta_{f} \edge B \subseteq \rho_{f} => f (f ^{-1} (B))= B `
Как следует из задания , нам даны функциональное и обратное ему соответсвие, в соответствии с определениями (6.7),
они являются однозначными, `f` и обратны``f^{-1}` и множество A \ в \ дельта {F} `является прототипом и
`A \subseteq ` pr`_1 G`, а множество ` B \subseteq \rho_{f}` есть образ множества `A` и `B \subseteq ` pr`_2 G`, где `G` функциональное соответствие `f`.
для обратной функции `f^{-1}` множество ` B \subseteq \rho_{f}` будет прототипом и `B \subseteq ` pr`_1 R`, а множество `A \in \delta_{f}`
будет образом множества `B` и `A \subseteq ` pr`_2 R`, где `R` обратное функциональное соответствие `f^{-1}`
рассмотрим выражение ` f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)= B `.
как известно, множества `A` ir `B` называются равными, если их элементы совпадают, т.е. если `A \subseteq B` и `B \subseteq A` , тогда `A=B`
Тогда нужно доказать, что
(a) ` f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)\subseteq B ` , и
(b) ` B \subseteq f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)`.
В первом случае (а) проблемы не возникет, и решение таково
поставим очерёдность рассмотрения операций
читать дальше
что должно бтть первым, а что - вторым?
Использованные определения:
1) соответствие `G` называется функциональным (или унитарным)
если образ любого элемента множества pr`_1 G` есть единственный элемент множестыва pr`_2 G `
2) множество всех `b \in B`, соответствующие элементу `a \in A`
называется `a` образом в множестве `B` согласно отношения `G`
3) множество всех `a \in A`, которым соответствует `b` называется `B` прообразом
в множестве `A` согласно отношению `G`.
4)Если `C \subseteq `pr`_2G` то это множество называется `C` объединением всех образов элементов множества `C`
5) Аналогично определяется множество первообразов `D \` subseteq` pr`_1 G - если `D \subseteq `pr`_1 G`,
то это множество `D` называется объединение всех элементов множества `D`
6) если отношение, обратное `f : \, A \longrightarrow B` является
функциональным, то она называется функция, обратная функции `f` и обозначается `f^{−1}`
7) обратное функции `f : \, A \longrightarrow B` отношение существует тогда и только тогда, если функциональное отношение` f` является взаимно однозначным
соответствием между своими областью определения и областью заначений
8) Множество `A` называется подмножеством множества `B`, если любой элемент множества `A`
принадлежит множеству `B`. Это обозначается `A \ subseteq b`. Мы что множество `В`
покрывает множество `A`
----------------------------------------------------------
надеюсь это не будет большой наглостью с моей стороны.
сейчас работа приобрела такой видчитать дальше
заранее спасибо
1 курс каунасского технологического университета. домашнее задание по дискретной математике
нужно доказать, что
если `A \subseteq \delta_{f} \edge B \subseteq \rho_{f} => f (f ^{-1} (B))= B `
Как следует из задания , нам даны функциональное и обратное ему соответсвие, в соответствии с определениями (6.7),
они являются однозначными, `f` и обратны``f^{-1}` и множество A \ в \ дельта {F} `является прототипом и
`A \subseteq ` pr`_1 G`, а множество ` B \subseteq \rho_{f}` есть образ множества `A` и `B \subseteq ` pr`_2 G`, где `G` функциональное соответствие `f`.
для обратной функции `f^{-1}` множество ` B \subseteq \rho_{f}` будет прототипом и `B \subseteq ` pr`_1 R`, а множество `A \in \delta_{f}`
будет образом множества `B` и `A \subseteq ` pr`_2 R`, где `R` обратное функциональное соответствие `f^{-1}`
рассмотрим выражение ` f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)= B `.
как известно, множества `A` ir `B` называются равными, если их элементы совпадают, т.е. если `A \subseteq B` и `B \subseteq A` , тогда `A=B`
Тогда нужно доказать, что
(a) ` f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)\subseteq B ` , и
(b) ` B \subseteq f \left(f ^{-1}{ \left(B \right)} \right)`.
В первом случае (а) проблемы не возникет, и решение таково
поставим очерёдность рассмотрения операций
читать дальше
что должно бтть первым, а что - вторым?
Использованные определения:
1) соответствие `G` называется функциональным (или унитарным)
если образ любого элемента множества pr`_1 G` есть единственный элемент множестыва pr`_2 G `
2) множество всех `b \in B`, соответствующие элементу `a \in A`
называется `a` образом в множестве `B` согласно отношения `G`
3) множество всех `a \in A`, которым соответствует `b` называется `B` прообразом
в множестве `A` согласно отношению `G`.
4)Если `C \subseteq `pr`_2G` то это множество называется `C` объединением всех образов элементов множества `C`
5) Аналогично определяется множество первообразов `D \` subseteq` pr`_1 G - если `D \subseteq `pr`_1 G`,
то это множество `D` называется объединение всех элементов множества `D`
6) если отношение, обратное `f : \, A \longrightarrow B` является
функциональным, то она называется функция, обратная функции `f` и обозначается `f^{−1}`
7) обратное функции `f : \, A \longrightarrow B` отношение существует тогда и только тогда, если функциональное отношение` f` является взаимно однозначным
соответствием между своими областью определения и областью заначений
8) Множество `A` называется подмножеством множества `B`, если любой элемент множества `A`
принадлежит множеству `B`. Это обозначается `A \ subseteq b`. Мы что множество `В`
покрывает множество `A`
----------------------------------------------------------
надеюсь это не будет большой наглостью с моей стороны.
сейчас работа приобрела такой видчитать дальше
заранее спасибо
четверг, 23 июля 2015
\setminus&space;C&space;=&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space
\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\Leftrightarrow&space;\begin{Bmatrix}&space;(a):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\\&space;(b):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\end{Bmatrix}" target=_blank>
\setminus&space;C&space;=&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\Leftrightarrow&space;\begin{Bmatrix}&space;(a):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\\&space;(b):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\end{Bmatrix}" title="\left ( A \setminus B \right )\setminus C = \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (a):\left ( A \setminus B \right )\setminus C \subseteq \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \\ (b):\left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \subseteq \left ( A \setminus B \right )\setminus C \end{Bmatrix}">
(b) доказал:
\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\notin&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\in&space;\overline{&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;}&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge\overline{&space;\left&space;[(x&space;\in&space;B&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]}\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\vee&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;\rangle&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}" target=_blank>
\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\notin&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\in&space;\overline{&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;}&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge\overline{&space;\left&space;[(x&space;\in&space;B&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]}\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\vee&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;\rangle&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}" title="x \in \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right)\overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge x \notin \left ( B \setminus C \right) \Rightarrow \\ \Rightarrow \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge x \in \overline{ \left ( B \setminus C \right) } \Rightarrow \\ \Rightarrow \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge\overline{ \left [(x \in B )\wedge (x \notin C ) \right ]}\overset{2} {\rightarrow} \\ \overset{2} {\rightarrow} \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge \left [(x \notin B ) \vee (x \in C ) \right ] \overset{3} {\rightarrow} \\ \overset{3} {\rightarrow} \left \langle \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ] \wedge (x \notin B ) \right \rangle \vee \left \langle \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ] \wedge (x \in C ) \right \rangle \overset{4} {\rightarrow}">
\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]\right&space;\rangle&space;\vee&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\right}&space;}&space;\rangle&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(false)&space;\right&space;]}&space;}&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}" target=_blank>
\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]\right&space;\rangle&space;\vee&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\right}&space;}&space;\rangle&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(false)&space;\right&space;]}&space;}&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}" title="\overset{4,5} {\rightarrow} \left \langle (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ]\right \rangle \vee \langle (x \in A )\wedge \underset{false}{\underbrace{ \left [(x \notin C ) \wedge (x \in C ) \right ] \right} } \rangle \overset{5} {\rightarrow} \\ \overset{5} {\rightarrow} \left \langle (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ] \right \rangle \vee \underset{false}{\underbrace{ \left [ (x \in A )\wedge (false) \right ]} } \overset{6} {\rightarrow} \\ \overset{6} {\rightarrow} (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ] \overset{7} {\rightarrow} \\ \overset{7} {\rightarrow} (x \in A )\wedge \left [(x \notin B ) \wedge (x \notin C ) \right ] \overset{4} {\rightarrow} \\ \overset{4} {\rightarrow} \left [ (x \in A )\wedge (x \notin B ) \right ] \wedge (x \notin C ) \overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \wedge x \notin C \overset{1} {\rightarrow}">
&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space&space;\setminus&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C" target=_blank>
&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space&space;\setminus&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C" title="\overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \wedge x \notin C \overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \setminus C \overset{8} {\rightarrow} \\ \overset{8} {\rightarrow} \left ( A \setminus B \right ) \setminus \left ( A \setminus B\right ) \subseteq \left ( A \setminus B\right ) \setminus C">
где
&space;\\&space;3&space;-&space;Morgano&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;\overline{&space;x&space;\wedge&space;y&space;}&space;=&space;\overline{x}&space;\vee&space;\overline{y}&space;\\&space;4&space;-&space;Asociatyvumas&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;(&space;y&space;\wedge&space;z&space&space;=&space;(&space;x&space;\wedge&space;y&space&space;\wedge&space;z&space;\\&space;5&space;-&space;Prestaros&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;\overline{x}&space;=&space;0&space;\\&space;6&space;-&space;Konstantos&space;\,&space;savybe&space;\,&space;-&space;x&space;\vee&space;0&space;=&space;x&space;\\&space;7&space;-&space;Komutatyvumas&space;\,&space;x&space;\wedge&space;y&space;=&space;y&space;\wedge&space;x&space;\\&space;8&space;-&space;Poaibio&space;\,&space;apibrezimas" target=_blank>&space;=&space;(&space;x&space;\wedge&space;y)&space;\vee&space;(x&space;\wedge&space;z&space<img src=)
&space;\\&space;3&space;-&space;Morgano&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;\overline{&space;x&space;\wedge&space;y&space;}&space;=&space;\overline{x}&space;\vee&space;\overline{y}&space;\\&space;4&space;-&space;Asociatyvumas&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;(&space;y&space;\wedge&space;z&space&space;=&space;(&space;x&space;\wedge&space;y&space&space;\wedge&space;z&space;\\&space;5&space;-&space;Prestaros&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;\overline{x}&space;=&space;0&space;\\&space;6&space;-&space;Konstantos&space;\,&space;savybe&space;\,&space;-&space;x&space;\vee&space;0&space;=&space;x&space;\\&space;7&space;-&space;Komutatyvumas&space;\,&space;x&space;\wedge&space;y&space;=&space;y&space;\wedge&space;x&space;\\&space;8&space;-&space;Poaibio&space;\,&space;apibrezimas" title="\\ 1- aibes\, skirtumo \, apibrezimas \\ 2 - Konjunkciojos \, distributyvumas \, disjunkcijos \, atzvilgiu \, \\ x \wedge( y \vee z) = ( x \wedge y) \vee (x \wedge z ) \\ 3 - Morgano \, desnis \, - \overline{ x \wedge y } = \overline{x} \vee \overline{y} \\ 4 - Asociatyvumas \, - x \wedge ( y \wedge z ) = ( x \wedge y ) \wedge z \\ 5 - Prestaros \, desnis \, - x \wedge \overline{x} = 0 \\ 6 - Konstantos \, savybe \, - x \vee 0 = x \\ 7 - Komutatyvumas \, x \wedge y = y \wedge x \\ 8 - Poaibio \, apibrezimas">
а как доказать первую часть - пока не знаю. можно конечно, всё шиворот наыворот сделать, прибавить 0 и потом расписать, но в math.stackexchange.com/questions/239875/element... сделано по-другому.
пойду в диари математиков спрашивать.
\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\Leftrightarrow&space;\begin{Bmatrix}&space;(a):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\\&space;(b):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\end{Bmatrix}" target=_blank>\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\Leftrightarrow&space;\begin{Bmatrix}&space;(a):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\\&space;(b):\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;C&space;\right&space\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space\setminus&space;C&space;\end{Bmatrix}" title="\left ( A \setminus B \right )\setminus C = \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (a):\left ( A \setminus B \right )\setminus C \subseteq \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \\ (b):\left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right ) \subseteq \left ( A \setminus B \right )\setminus C \end{Bmatrix}">(b) доказал:
\setminus&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space
\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\notin&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\in&space;\overline{&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;}&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge\overline{&space;\left&space;[(x&space;\in&space;B&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]}\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\vee&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;\rangle&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}" target=_blank>\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\notin&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;x&space;\in&space;\overline{&space;\left&space;(&space;B&space;\setminus&space;C&space;\right)&space;}&space;\Rightarrow&space;\\&space;\Rightarrow&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge\overline{&space;\left&space;[(x&space;\in&space;B&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]}\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{2}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\vee&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{3}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\left&space;\langle&space;\left&space;[(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;\rangle&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}" title="x \in \left ( A \setminus C \right )\setminus \left ( B \setminus C \right)\overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge x \notin \left ( B \setminus C \right) \Rightarrow \\ \Rightarrow \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge x \in \overline{ \left ( B \setminus C \right) } \Rightarrow \\ \Rightarrow \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge\overline{ \left [(x \in B )\wedge (x \notin C ) \right ]}\overset{2} {\rightarrow} \\ \overset{2} {\rightarrow} \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ]\wedge \left [(x \notin B ) \vee (x \in C ) \right ] \overset{3} {\rightarrow} \\ \overset{3} {\rightarrow} \left \langle \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ] \wedge (x \notin B ) \right \rangle \vee \left \langle \left [(x \in A )\wedge (x \notin C ) \right ] \wedge (x \in C ) \right \rangle \overset{4} {\rightarrow}">\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space
&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]\right&space;\rangle&space;\vee&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\right}&space;}&space;\rangle&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(false)&space;\right&space;]}&space;}&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}" target=_blank>&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]\right&space;\rangle&space;\vee&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\in&space;C&space&space;\right&space;]&space;\right}&space;}&space;\rangle&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{5}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;\langle&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\right&space;\rangle&space;\vee&space;\underset{false}{\underbrace{&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(false)&space;\right&space;]}&space;}&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{6}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;C&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{7}&space;{\rightarrow}&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;\left&space;[(x&space;\notin&space;B&space&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\right&space;]&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{4}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;[&space;(x&space;\in&space;A&space\wedge&space;(x&space;\notin&space;B&space&space;\right&space;]&space;\wedge&space;(x&space;\notin&space;C&space&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}" title="\overset{4,5} {\rightarrow} \left \langle (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ]\right \rangle \vee \langle (x \in A )\wedge \underset{false}{\underbrace{ \left [(x \notin C ) \wedge (x \in C ) \right ] \right} } \rangle \overset{5} {\rightarrow} \\ \overset{5} {\rightarrow} \left \langle (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ] \right \rangle \vee \underset{false}{\underbrace{ \left [ (x \in A )\wedge (false) \right ]} } \overset{6} {\rightarrow} \\ \overset{6} {\rightarrow} (x \in A )\wedge \left [(x \notin C ) \wedge (x \notin B ) \right ] \overset{7} {\rightarrow} \\ \overset{7} {\rightarrow} (x \in A )\wedge \left [(x \notin B ) \wedge (x \notin C ) \right ] \overset{4} {\rightarrow} \\ \overset{4} {\rightarrow} \left [ (x \in A )\wedge (x \notin B ) \right ] \wedge (x \notin C ) \overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \wedge x \notin C \overset{1} {\rightarrow}">&space;\wedge&space;x&space;\notin&space;C&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{1}&space;{\rightarrow}&space;x&space;\in&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space
&space;\setminus&space;C&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space&space;\setminus&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C" target=_blank>&space;\setminus&space;C&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\\&space;\overset{8}&space;{\rightarrow}&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B&space;\right&space&space;\setminus&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\subseteq&space;\left&space;(&space;A&space;\setminus&space;B\right&space&space;\setminus&space;C" title="\overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \wedge x \notin C \overset{1} {\rightarrow} \\ \overset{1} {\rightarrow} x \in \left ( A \setminus B\right ) \setminus C \overset{8} {\rightarrow} \\ \overset{8} {\rightarrow} \left ( A \setminus B \right ) \setminus \left ( A \setminus B\right ) \subseteq \left ( A \setminus B\right ) \setminus C">где
&space;\\&space;3&space;-&space;Morgano&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;\overline{&space;x&space;\wedge&space;y&space;}&space;=&space;\overline{x}&space;\vee&space;\overline{y}&space;\\&space;4&space;-&space;Asociatyvumas&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;(&space;y&space;\wedge&space;z&space
&space;=&space;(&space;x&space;\wedge&space;y&space&space;\wedge&space;z&space;\\&space;5&space;-&space;Prestaros&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;\overline{x}&space;=&space;0&space;\\&space;6&space;-&space;Konstantos&space;\,&space;savybe&space;\,&space;-&space;x&space;\vee&space;0&space;=&space;x&space;\\&space;7&space;-&space;Komutatyvumas&space;\,&space;x&space;\wedge&space;y&space;=&space;y&space;\wedge&space;x&space;\\&space;8&space;-&space;Poaibio&space;\,&space;apibrezimas" target=_blank>&space;=&space;(&space;x&space;\wedge&space;y&space&space;\wedge&space;z&space;\\&space;5&space;-&space;Prestaros&space;\,&space;desnis&space;\,&space;-&space;x&space;\wedge&space;\overline{x}&space;=&space;0&space;\\&space;6&space;-&space;Konstantos&space;\,&space;savybe&space;\,&space;-&space;x&space;\vee&space;0&space;=&space;x&space;\\&space;7&space;-&space;Komutatyvumas&space;\,&space;x&space;\wedge&space;y&space;=&space;y&space;\wedge&space;x&space;\\&space;8&space;-&space;Poaibio&space;\,&space;apibrezimas" title="\\ 1- aibes\, skirtumo \, apibrezimas \\ 2 - Konjunkciojos \, distributyvumas \, disjunkcijos \, atzvilgiu \, \\ x \wedge( y \vee z) = ( x \wedge y) \vee (x \wedge z ) \\ 3 - Morgano \, desnis \, - \overline{ x \wedge y } = \overline{x} \vee \overline{y} \\ 4 - Asociatyvumas \, - x \wedge ( y \wedge z ) = ( x \wedge y ) \wedge z \\ 5 - Prestaros \, desnis \, - x \wedge \overline{x} = 0 \\ 6 - Konstantos \, savybe \, - x \vee 0 = x \\ 7 - Komutatyvumas \, x \wedge y = y \wedge x \\ 8 - Poaibio \, apibrezimas">а как доказать первую часть - пока не знаю. можно конечно, всё шиворот наыворот сделать, прибавить 0 и потом расписать, но в math.stackexchange.com/questions/239875/element... сделано по-другому.
пойду в диари математиков спрашивать.
воскресенье, 14 июня 2015
я студент курса прикладной математики Каунаского Технологического университета
пока не знаю буду сюда что либо писать, так как создал дневник чтобы написать в сообщество
пока не знаю буду сюда что либо писать, так как создал дневник чтобы написать в сообщество